Área y perímetro: dos jardines con la misma superficie

Para cubrir un jardín con pasto interesa conocer su superficie. Para colocar un borde alrededor interesa conocer la longitud de su contorno. Aunque ambos cálculos se refieren al mismo jardín, responden preguntas diferentes. El área mide la superficie; el perímetro mide el contorno. Distinguirlos antes de operar ayuda a elegir los datos y las unidades correctas.

Imaginemos un jardín compacto y otro alargado. Una ilustración sirve para plantear la situación, pero no permite obtener medidas exactas a simple vista. Trabajaremos primero con los planos A y B en cuadrícula: cada cuadrito tendrá un lado de una unidad. Así podremos contar y comprobar nuestras respuestas sin adivinar distancias. Más adelante compararemos otros dos jardines con medidas en metros.

El diseño A tiene tres filas de cuatro cuadritos. Su superficie reúne 4 + 4 + 4 = 12 unidades cuadradas. También podemos escribir 3 × 4 = 12. El diseño B tiene dos filas de seis cuadritos: 6 + 6 = 12, o 2 × 6 = 12. Los cuadritos son del mismo tamaño en ambos planos.

Los dos diseños tienen la misma área porque cubren doce unidades cuadradas sin huecos ni superposiciones. La unidad cuadrada es importante: no estamos contando puntos, plantas o líneas. Si cambiáramos el tamaño de los cuadritos entre dibujos, contar doce en cada uno ya no garantizaría que las superficies fueran iguales.

Para el perímetro del diseño A sumamos sus cuatro lados: 4 + 3 + 4 + 3 = 14 unidades. En el diseño B sumamos 6 + 2 + 6 + 2 = 16 unidades. Las líneas que separan cuadritos dentro del rectángulo no se cuentan: no forman parte del límite exterior del jardín.

El diseño B requiere dos unidades más de borde, pues 16 − 14 = 2. Ahora podemos revisar la afirmación «si tienen igual área, necesitan el mismo borde». El ejemplo muestra que no siempre sucede. Reorganizar una misma superficie puede cambiar su contorno, aunque se conserve la cantidad de cuadritos.

En un plano sin medidas reales escribimos 12 unidades cuadradas para el área y 14 unidades de longitud para el perímetro de A. Si cada lado del cuadrito representara un metro, las respuestas serían 12 metros cuadrados y 14 metros. No conviene escribir solamente un número: la unidad aclara qué medimos.

Una comprobación útil consiste en recorrer con el dedo el borde al sumar el perímetro y señalar cada cuadrito al contar el área. Son acciones distintas. Después puedes comprobar el cálculo del rectángulo con multiplicaciones o sumas de lados iguales, explicando por qué esos procedimientos representan la superficie o el contorno.

Pasemos a un ejemplo distinto de los diseños A y B. El primer diagrama muestra un rectángulo de seis metros de largo y cuatro de ancho. Cada cuadrado representa un metro cuadrado. Hay cuatro filas de seis cuadrados: 6 × 4 = 24 metros cuadrados. Para su borde sumamos 6 + 4 + 6 + 4 = 20 metros. Los números 24 y 20 describen medidas diferentes del mismo jardín.

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Si necesitamos cubrirlo por completo, usamos los 24 metros cuadrados como superficie. Si necesitamos marcar todo el contorno, usamos los 20 metros. Un presupuesto real requeriría además información sobre materiales, recortes y accesos; aquí comparamos solamente medidas geométricas, sin inventar costos ni convertir superficie en longitud.

El segundo diagrama compara el rectángulo de 6 por 4 con otro de 8 por 3 metros. Ambos cubren 24 metros cuadrados porque 6 × 4 = 24 y 8 × 3 = 24. Sin embargo, el segundo necesita 8 + 3 + 8 + 3 = 22 metros para recorrer su contorno. Son dos metros más que en el primero.

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Podemos representar esta comparación recortando veinticuatro cuadrados iguales de papel y reorganizándolos, sin superponerlos. El material no aumenta, pero cambia la forma. Esta experiencia explica por qué no conviene escoger el perímetro a partir del área solamente. Para cada diseño hay que revisar cuáles segmentos quedan expuestos en el borde exterior.

Utiliza papel cuadriculado y marca qué longitud representa el lado de cada cuadrito. Antes de calcular, escribe si buscas cuánto cubre la figura o cuánto mide su borde. Esa decisión evita aplicar una fórmula sólo porque recuerdas una multiplicación. El dibujo será una forma de explicar y comprobar el procedimiento.

1. Etiqueta el largo y el ancho del rectángulo. Comprueba que ambos usan la misma unidad de longitud.
2. Cuenta cuadrados o multiplica filas por columnas para medir el área; escribe unidades cuadradas.
3. Marca sólo el borde y suma los cuatro lados para obtener el perímetro; escribe unidades de longitud.
4. Repite el cálculo con otra estrategia: suma filas para el área y agrupa lados iguales para el perímetro. Explica por qué deben coincidir.

Si alguien escribe «el área es veinte metros», hay dos preguntas que revisar: si calculó el contorno en vez de la superficie y si eligió la unidad adecuada. Los metros cuadrados no significan metros multiplicados por dos. Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado cuyo lado mide un metro.

Otro error consiste en sumar todas las líneas de la cuadrícula para el perímetro. Esas divisiones sirven para contar superficie, pero las interiores no pertenecen al borde. Colorea cada segmento que realmente tocaría una cerca alrededor del jardín. Si una línea queda dentro, no debe sumarse. Esta comprobación visual suele revelar la confusión antes de repetir operaciones.

Dibuja un rectángulo de una fila con doce cuadritos, al que llamaremos C. Calcula su área y su perímetro. Compáralo con A y B. Después dibuja un rectángulo de cuatro filas de cuatro cuadritos, llamado D. ¿Tiene el mismo perímetro que B? ¿También tiene la misma área? Anota una explicación antes de mirar las respuestas.

Anota tu procedimiento en el cuaderno y explica cómo llegaste a tu respuesta.

Soluciones: C tiene área de 12 unidades cuadradas y perímetro de 12 + 1 + 12 + 1 = 26 unidades. Conserva el área de A y B, pero su contorno es mayor. D tiene área de 16 unidades cuadradas y perímetro de 16 unidades. Comparte perímetro con B, cuya área es 12. Por tanto, ni tener la misma área obliga a conservar el perímetro ni tener el mismo perímetro obliga a conservar el área.