Tasas y proporcionalidad: compara usando la misma base

Dos equipos revisan libros de una biblioteca imaginaria. El equipo A repara dieciocho y el B doce. Si preguntamos quién reparó más libros, la respuesta es A. Pero todavía no sabemos qué parte del conjunto revisado representa cada cantidad. Para responder necesitamos conocer también cuántos libros revisó cada equipo.

Es posible tener una cantidad mayor y una proporción menor al mismo tiempo. No es una contradicción: las preguntas son distintas. En esta guía aprenderás a conservar ambas respuestas y a evitar una conclusión apresurada basada solamente en el número más grande.

Una razón relaciona dos cantidades. Expresarla como “tantos por cada tantos” ayuda a reconocer su significado. Una tasa comunica una relación respecto de una base definida: por ejemplo, reparados por cada cien revisados. También existen tasas con unidades diferentes, como páginas por minuto; aquí trabajaremos con una parte de un conjunto.

El denominador indica el total de libros revisados, no los que quedaron sin reparar. Cambiar esa base cambiaría la pregunta. Por eso escribe los nombres completos antes de calcular. “Dieciocho de sesenta revisados” es más claro que una fracción sin contexto.

El registro completo indica que A reparó 18 de 60 libros revisados; B reparó 12 de 30. Se utiliza el mismo criterio para contar una reparación. A tiene seis libros reparados más, pero también revisó el doble de libros. Comparar solamente dieciocho y doce omite esa diferencia en los totales.

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Conserva estos datos originales incluso después de convertirlos. Son los que permiten comprobar de dónde sale cada resultado. Una proporción equivalente no debe reemplazar el registro como si se hubieran revisado realmente cien libros en cada equipo.

Puedes buscar fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo sus dos términos por el mismo número distinto de cero. Esa transformación conserva la relación. En este ejemplo resulta cómodo llegar primero a diez y después a cien; no es obligatorio empezar con una fórmula larga.

1. Para A, divide 18 y 60 entre seis: obtienes 3 de cada 10.
2. Para B, divide 12 y 30 entre tres: obtienes 4 de cada 10.
3. Multiplica ambos términos de cada razón por diez: A equivale a 30 de cada 100 y B a 40 de cada 100.
4. Compara las partes únicamente cuando las bases y sus significados coincidan.

Con una base común, A representa 30 % y B 40 % de los libros revisados. B tiene una proporción mayor, aunque reparó menos libros en cantidad absoluta. Las dos barras del diagrama usan el mismo ancho total y una escala de cero a cien; así la comparación visual coincide con los cálculos.

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La separación entre 40 % y 30 % es de diez puntos porcentuales. No la describas simplemente como “diez libros más”: los registros originales tienen otros totales. Tampoco significa que B reparará exactamente cuarenta libros en el siguiente lote de cien. Estamos expresando una relación observada, no garantizando un resultado futuro.

Una comprobación útil recupera las cantidades originales. En A, tres de cada diez equivale a dieciocho de sesenta: el total contiene seis grupos de diez y cada grupo aporta tres. En B, cuatro de cada diez equivale a doce de treinta: hay tres grupos de diez y cada uno aporta cuatro.

También puedes usar decimales: 0.30 × 60 = 18 y 0.40 × 30 = 12. Si la comprobación no recupera el registro, revisa si confundiste la parte con el total o si transformaste solamente uno de los términos de la razón.

Los datos permiten comparar cantidades y proporciones, pero no demuestran que un equipo trabaje mejor. Quizá los libros tenían daños diferentes o los tiempos disponibles no fueron iguales. Para estudiar esas explicaciones se necesita información adicional. Una operación correcta no convierte cualquier interpretación en una conclusión válida.

No conocemos tampoco cuántos libros de los no reparados estaban sanos o necesitaban una reparación imposible. El total revisado incluye todos los casos del registro. Antes de evaluar resultados reales, define el criterio, el periodo y las condiciones para que las cifras signifiquen lo mismo.

Comprueba además que la parte pertenezca al total elegido. No sería válido contar reparaciones realizadas durante todo un mes y dividirlas entre libros revisados durante una sola mañana. Aunque la división pueda hacerse, las cantidades no describen el mismo conjunto. Si no se revisó ningún libro, tampoco puedes calcular una proporción dividiendo entre cero. En ese caso informa que faltan observaciones para esa comparación, en vez de inventar un porcentaje de éxito o fracaso.

En otro caso ficticio, un paquete contiene dos cuadernos con hojas desprendidas entre veinticinco revisados; otro contiene seis entre cincuenta. Lleva ambos a cien: el primero equivale a ocho por cada cien y el segundo a doce por cada cien. La comparación usa siempre cuadernos con ese problema entre cuadernos revisados.

Aquí una proporción menor significa menos presencia del problema definido. Eso muestra por qué no se puede decir que “el porcentaje más alto siempre es mejor”. Primero interpreta qué se cuenta. El procedimiento numérico puede mantenerse, mientras cambia el sentido práctico de la respuesta.

Usa estos datos ficticios: C repara ocho de cuarenta libros revisados; D repara nueve de treinta. Trabaja en una hoja y conserva los nombres de las cantidades junto a cada fracción. Responde las cuatro preguntas y comprueba tus cálculos antes de leer las soluciones.

1. ¿Qué equipo reparó más libros en cantidad absoluta y cuántos más?
2. Expresa ambas relaciones por cada cien y compara sus proporciones.
3. ¿Cuántos puntos porcentuales separan las dos proporciones?
4. ¿Los datos bastan para afirmar qué equipo tiene el mejor método? Explica qué información adicional pedirías.

Anota tu procedimiento en el cuaderno y explica cómo llegaste a tu respuesta.

D reparó nueve libros y C ocho: la diferencia absoluta es un libro. C representa 8/40 = 1/5 = 20/100, es decir, 20 %. D representa 9/30 = 3/10 = 30/100, es decir, 30 %. La proporción de D supera a la de C en diez puntos porcentuales.

Comprueba 0.20 × 40 = 8 y 0.30 × 30 = 9. Las cifras no bastan para elegir el mejor método: sería razonable conocer el tipo de daños, el tiempo empleado y el criterio de reparación. Una respuesta completa comunica tanto el resultado matemático como aquello que los datos no permiten asegurar.